CLASE #24

CASOS DE FACTORIZACIÓN.

CASO #1

CASO # 2

CASO # 3

CASO # 4

CASO # 5

CASO 5

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICION Y SUSTRACCION

Algunos trinomios no cumplen las condiciones para ser trinomios cuadrados perfectos, el primer y tercer término tienen raíz cuadrada perfecta pero el de la mitad no es el doble producto de las dos raíces. Se debe saber cuanto debe ser el doble producto y la cantidad que falte para cuadrar el término de la mitad, esta cantidad se le suma y se le resta al mismo tiempo, de tal forma se armara un trinomio cuadrado y factorizado unido con el último término tendremos una diferencia de cuadrados.

1) 49m4 – 151m2 n4 + 81n8

49m4 – 151m2 n4 + 81n8
+ 25 m2 n4 - 25 m2 n4
49m4 –126m2 n4 + 81n8- 25 m2 n4 = (49m4 – 126m2 n4 + 81n8) - 25 m2n4

(49m4 – 126m2 n4 + 81n8) - 25 m2 n4
(7m2 – 9n4)2 - 25 m2 n4
(7m2 – 9n4)2 - 25 m2 n4 = [(7m2 – 9n4) + 5mn2] * [(7m2 – 9n4) - 5mn2]
(7m2 – 9n4)2 - 25 m2 n4 = [7m2 – 9n4 + 5mn2] * [7m2 – 9n4 - 5mn2]
49m4 – 151m2 n4 + 81n8= [7m2 + 5mn2 – 9n4] * [7m2 - 5mn2 – 9n4]

CASO 6

TRINOMIO DE LA FORMA x2 + bx + c

Trinomios de la forma x2 + bx + c son trinomios como

x2 + 5x + 6

a2 – 2a – 15

m2 + 5m – 14

y2 – 8y + 15

Que cumplen las condiciones siguientes:

• El coeficiente del primer término es 1

• El primer término es una letra cualquiera elevada al cuadrado.

• El segundo término tiene la misma letra que el primero con exponente 1 y su coeficiente es una cantidad cualquiera, positiva o negativa.

• El tercer termino es independiente de la letra que aparece

en el primer y segundo termino y es una cantidad cualquiera, positiva o negativa.

REGLA PRACTICA PARA FACTORAR UN TRINOMIO DE LA FORMA x2 + bx + c

• El trinomio se descompone en dos factores binomios cuyo primer término es “x”, o sea la raíz cuadrada del primer termino del trinomio.

• En el primer factor, después de “x” se escribe el signo del segundo termino del trinomio y en el segundo factor, después de “x” se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo del segundo termino del trinomio por el signo del tercer termino del trinomio.

• Si los dos factores binomios tienen en los medios signos iguales se buscan

dos números cuya suma sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del tercer término del trinomio. Estos números son los segundos términos de los binomios.

• Si los dos factores binomios tienen en los medios signos distintos se buscan dos números cuya diferencia sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del tercer término del trinomio. El mayor de estos números es el segundo término del primer binomio y el menor, el segundo término del segundo binomio

Ejemplos


x2 + 6x – 216 = (x + 18) * (x - 12)

CASO ESPECIAL DEL CASO 6

El procedimiento anterior es aplicable a la factorización de trinomio que siendo de la forma x2+bx+c difieren algo de los estudiados anteriormente.
Ejemplo:


X4-5x2-50 =
El primer término de cada factor binomio será la raíz cuadrada de X4 o sea X2
X4-5x2-50 = (X2 - ) (X2 + )
Buscamos dos números cuya diferencia (signos distintos en los binomios) sea 5 y cuyo producto sea 50. Esos números son 10 y 5 tendremos:
X4-5x2-50 = (X2 - 10) (X2 + 5)


Ejemplos


x2 – 6 – x = x2 – x - 6
x2 – x – 6 = (x - 3) * (x + 2)

CASO 7

TRINOMIO DE LA FORMA ax2+bx+c

Condiciones que debe cumplir un trinomio de la forma ax2+bx+c:


El primer término tiene un coeficiente mayor que 1 y tiene una letra cualquiera elevada al cuadrado.


El segundo término tiene la misma letra que el primero pero con exponente 1 y su coeficiente es una cantidad cualquiera positiva o negativa.


El tercer término es una cantidad cualquiera positiva o negativa sin ninguna letra en común con el 1 y 2 términos.


Ejemplo:


6x2 -7x -3


1) Se multiplica el coeficiente del primer término” 6” por todo el trinomio, dejando el producto del 2 término indicado:
6(6x2 -7x +3) =36x2 -6(7x) -18


2) Se ordena tomando en cuenta que 36x2 = (6x)2 y 6(-7x) = -7(6x), escribiéndolo de la siguiente manera: (6x) 2 -7(6x) -18


3) Luego se procede a factorar (6x) 2 -7(6x) -18 como un problema del Caso VI. Con una variante que se explica en el Inciso 6°


4) Se forman 2 factores binomios con la raíz cuadrada del primer término del trinomio: (6x- )(6x+ )


5) Se buscan dos números cuya diferencia sea -7 y cuyo producto sea -18 esos números son -9 y +2 porque: -9 +2 = -7 y (-9) (2) = -18= (6x-9)(6x+2)


6) Aquí está la variante: Como al principio multiplicamos el trinomio por “6″, entonces ahora los factores binomios encontrados, los dividimos entre”6″
(6x-9)(6x+2) / 6; como ninguno de los binomios es divisible entre “6″ entonces descomponemos el “6″ en dos factores (3y2), de manera que uno divida a un factor binomio y el segundo divida al otro. Así: (6x-9) / 3 y (6x+2) / 2, y estos cocientes quedarían así:(2x-3) (3x+1)
EJEMPLO:
15x² + x - 2 = (5x + 2) (3x - 1)

CASO # 8

CASO # 9

CASO # 10