VÍDEOS DE ALGUNOS  CASOS DE FACTORIZACIÓN

CASO 2

CASO 6

CLASE #25

ECUACIONES MATRICIALES

Una ecuación matricial es una ecuación donde la incógnita es una matriz. Para resolver una ecuación matricial se transforma la ecuación inicial en otra equivalente usando las propiedades de las matrices. Es muy importante tener en cuenta que las matrices no son conmutativas, por ello, si se quiere multiplicar una ecuación por determinada matriz hay que hacerlo en ambos términos de la igualdad por el mismo sitio. Supongamos que tenemos la ecuación matricial A·X=B-C, esta ecuación tendrá solución si A es invertible. Multiplicamos a la izquierda por A-1 quedando A-1A·X=A-1(B-C) de ahí se deduce que X=A-1(B-C). Veámoslo con matrices.

Método de Gauss

Para resolver sistemas de ecuaciones lineales, se aplica el método de Gauss. Este proceso se ilustra en el siguiente ejemplo.


Ejemplo:


Sea el sistema,



X + 2y + z = 3
2x + 5y - z = -4
3x – 2y – z= 2


Su matriz ampliada asociada es










Ahora resolvemos por el método de Gauss sabiendo que la primera columna corresponde a los coeficientes de la x, la segunda a los de la y, la tercera a los de la z y la cuarta a los términos independientes:





























De este modo, el sistema tiene la solución única



x = 2, y = -1, z = 3.


La resolución de sistemas de ecuaciones lineales por matrices, aplicando el método de Gauss u otros, es una de las múltiples aplicaciones que tienen éstas.

CLASE #24

CASOS DE FACTORIZACIÓN.

CASO #1

CASO # 2

CASO # 3

CASO # 4

CASO # 5

CASO 5

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICION Y SUSTRACCION

Algunos trinomios no cumplen las condiciones para ser trinomios cuadrados perfectos, el primer y tercer término tienen raíz cuadrada perfecta pero el de la mitad no es el doble producto de las dos raíces. Se debe saber cuanto debe ser el doble producto y la cantidad que falte para cuadrar el término de la mitad, esta cantidad se le suma y se le resta al mismo tiempo, de tal forma se armara un trinomio cuadrado y factorizado unido con el último término tendremos una diferencia de cuadrados.

1) 49m4 – 151m2 n4 + 81n8

49m4 – 151m2 n4 + 81n8
+ 25 m2 n4 - 25 m2 n4
49m4 –126m2 n4 + 81n8- 25 m2 n4 = (49m4 – 126m2 n4 + 81n8) - 25 m2n4

(49m4 – 126m2 n4 + 81n8) - 25 m2 n4
(7m2 – 9n4)2 - 25 m2 n4
(7m2 – 9n4)2 - 25 m2 n4 = [(7m2 – 9n4) + 5mn2] * [(7m2 – 9n4) - 5mn2]
(7m2 – 9n4)2 - 25 m2 n4 = [7m2 – 9n4 + 5mn2] * [7m2 – 9n4 - 5mn2]
49m4 – 151m2 n4 + 81n8= [7m2 + 5mn2 – 9n4] * [7m2 - 5mn2 – 9n4]

CASO 6

TRINOMIO DE LA FORMA x2 + bx + c

Trinomios de la forma x2 + bx + c son trinomios como

x2 + 5x + 6

a2 – 2a – 15

m2 + 5m – 14

y2 – 8y + 15

Que cumplen las condiciones siguientes:

• El coeficiente del primer término es 1

• El primer término es una letra cualquiera elevada al cuadrado.

• El segundo término tiene la misma letra que el primero con exponente 1 y su coeficiente es una cantidad cualquiera, positiva o negativa.

• El tercer termino es independiente de la letra que aparece

en el primer y segundo termino y es una cantidad cualquiera, positiva o negativa.

REGLA PRACTICA PARA FACTORAR UN TRINOMIO DE LA FORMA x2 + bx + c

• El trinomio se descompone en dos factores binomios cuyo primer término es “x”, o sea la raíz cuadrada del primer termino del trinomio.

• En el primer factor, después de “x” se escribe el signo del segundo termino del trinomio y en el segundo factor, después de “x” se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo del segundo termino del trinomio por el signo del tercer termino del trinomio.

• Si los dos factores binomios tienen en los medios signos iguales se buscan

dos números cuya suma sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del tercer término del trinomio. Estos números son los segundos términos de los binomios.

• Si los dos factores binomios tienen en los medios signos distintos se buscan dos números cuya diferencia sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del tercer término del trinomio. El mayor de estos números es el segundo término del primer binomio y el menor, el segundo término del segundo binomio

Ejemplos


x2 + 6x – 216 = (x + 18) * (x - 12)

CASO ESPECIAL DEL CASO 6

El procedimiento anterior es aplicable a la factorización de trinomio que siendo de la forma x2+bx+c difieren algo de los estudiados anteriormente.
Ejemplo:


X4-5x2-50 =
El primer término de cada factor binomio será la raíz cuadrada de X4 o sea X2
X4-5x2-50 = (X2 - ) (X2 + )
Buscamos dos números cuya diferencia (signos distintos en los binomios) sea 5 y cuyo producto sea 50. Esos números son 10 y 5 tendremos:
X4-5x2-50 = (X2 - 10) (X2 + 5)


Ejemplos


x2 – 6 – x = x2 – x - 6
x2 – x – 6 = (x - 3) * (x + 2)

CASO 7

TRINOMIO DE LA FORMA ax2+bx+c

Condiciones que debe cumplir un trinomio de la forma ax2+bx+c:


El primer término tiene un coeficiente mayor que 1 y tiene una letra cualquiera elevada al cuadrado.


El segundo término tiene la misma letra que el primero pero con exponente 1 y su coeficiente es una cantidad cualquiera positiva o negativa.


El tercer término es una cantidad cualquiera positiva o negativa sin ninguna letra en común con el 1 y 2 términos.


Ejemplo:


6x2 -7x -3


1) Se multiplica el coeficiente del primer término” 6” por todo el trinomio, dejando el producto del 2 término indicado:
6(6x2 -7x +3) =36x2 -6(7x) -18


2) Se ordena tomando en cuenta que 36x2 = (6x)2 y 6(-7x) = -7(6x), escribiéndolo de la siguiente manera: (6x) 2 -7(6x) -18


3) Luego se procede a factorar (6x) 2 -7(6x) -18 como un problema del Caso VI. Con una variante que se explica en el Inciso 6°


4) Se forman 2 factores binomios con la raíz cuadrada del primer término del trinomio: (6x- )(6x+ )


5) Se buscan dos números cuya diferencia sea -7 y cuyo producto sea -18 esos números son -9 y +2 porque: -9 +2 = -7 y (-9) (2) = -18= (6x-9)(6x+2)


6) Aquí está la variante: Como al principio multiplicamos el trinomio por “6″, entonces ahora los factores binomios encontrados, los dividimos entre”6″
(6x-9)(6x+2) / 6; como ninguno de los binomios es divisible entre “6″ entonces descomponemos el “6″ en dos factores (3y2), de manera que uno divida a un factor binomio y el segundo divida al otro. Así: (6x-9) / 3 y (6x+2) / 2, y estos cocientes quedarían así:(2x-3) (3x+1)
EJEMPLO:
15x² + x - 2 = (5x + 2) (3x - 1)

CASO # 8

CASO # 9

CASO # 10

CLASE # 23

MATRIZ INVERSA

CALCULO DE UNA MATRIZ INVERSA

Método de Gauss-Jordán

Este método consiste en colocar junto a la matriz de partida (A) la matriz identidad (I) y hacer operaciones por filas, afectando esas operaciones tanto a como aI, con el objeto de transformar la matriz A en la matriz identidad, la matriz resultante de las operaciones sobre I es la inversa de A
(A-1).


Las operaciones que podemos hacer sobre las filas son:
a) Sustituir una fila por ella multiplicada por una constante, por ejemplo, sustituimos la fila 2 por ella multiplicada por 3.
b) Permutar dos filas

c) Sustituir una fila por una combinación lineal de ella y otras.

CLASE # 22

LA REGLA DE SARRUS




La regla de Sarrus es un método fácil para memorizar y calcular el determinante de una matriz 3×3. Recibe su nombre del matemático francés Pierre Frédéric Sarrus.
Considérese la matriz 3×3:







Su determinante se puede calcular de la siguiente manera:
En primer lugar, repetir las dos primeras columnas de la matriz a la derecha de la misma de manera que queden cinco columnas en fila. Después sumar los productos de las diagonales descendentes (en línea continua) y sustraer los productos de las diagonales ascendentes (en trazos). Esto resulta en:







Un proceso similar basado en diagonales también funciona con matrices 2×2:







Esta regla mnemotecnia es un caso especial de la fórmula de Leibniz y ha sido conocido que no puede aplicar para matrices mayores a 3×3. Sin embargo, en octubre del año 2000, el matemático Gustavo Villalobos Hernández de la Universidad de Guadalajara, en México, encontró un método para calcular el determinante de una matriz de 4×4, sin reducir a determinantes de 3×3 con la matriz adjunta y el menor complementario. Su resultado es una extensión completa de la Regla de Sarrus, ya que utiliza el mismo método, obteniendo directamente los 24 términos requeridos para su cálculo.

CLASE #21

Matriz

Una matriz es un arreglo bidimensional de números (llamados entradas de la matriz) ordenados en filas (o renglones) y columnas, donde una fila es cada una de las líneas horizontales de la matriz y una columna es cada una de las líneas verticales. A una matriz con n filas y m columnas se le denomina matriz n-por-m .
 El conjunto de las matrices de tamaño  se representa como, donde  es el campo al cual pertenecen las entradas. El tamaño de una matriz siempre se da con el número de filas primero y el número de columnas después. Dos matrices se dice que son iguales si tienen el mismo tamaño y los mismos elementos en las mismas posiciones..

Las matrices se utilizan para múltiples aplicaciones y sirven, en particular, para representar los coeficientes de los sistemas de ecuaciones lineales o para representar las aplicaciones lineales; en este último caso las matrices desempeñan el mismo papel que los datos de un vector para las aplicaciones lineales.

Pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de varias formas, lo que también las hace un concepto clave en el campo del álgebra lineal.

TIPOS DE MATRICES

Matriz Fila
Matriz Columna
Matriz Rectangular
Matriz Transpuesta
Matriz Nula
Matriz Cuadrada

CLASES DE MATRICES CUADRADAS

Matriz triangular superior
Matriz triangular inferior
Matriz diagonal
Matriz escalar
Matriz identidad o unidad
Matriz regular
Matriz singular
Matriz idempotente
Matriz involutiva
Matriz simétrica
Matriz antisimetrica o hemisimetrica
Matriz ortogonal

CLASE # 20

ECUACIONES RADICALES

Usaremos la siguiente propiedad para resolver estas ecuaciones:
cualquier raíz de una ecuación dada, puede ser también raíz de otra ecuación que se obtenga al igualar, los cuadrados de los dos miembros de la ecuación propuesta.
Al elevar al cuadrado los dos miembros de una ecuación se obtienen valores para la incógnita original, tales valores se llaman raíces extrañas de la ecuación.
Esto debido a que los radícale de índice par presenta problemas de indefinición con sub radicales negativos.
Para resolver una ecuación que comprende radicales se efectúan los siguientes pasos:

Se deja en uno de los miembros un solo radical, trasladando al otro miembro los demás términos.

Se elevan al cuadrado, al cubo, ect. Los dos miembros de la ecuación obtenida y se igualan entre sí pero también depende de la raíz que se encuentre involucrada.

Si la ecuación obtenida no contiene radicales se resuelve normalmente. Si por el contrario contiene uno o más radicales se repiten los pasos 1 y 2 hasta obtener una ecuación sin radicales.

Luego se resuelve esta última ecuación.

Se sustituyen en la ecuación original los valores obtenidos en el paso anterior y se determinan las raíces extrañas.

El proceso de liberar la ecuación de radicales se conoce con el nombre de racionalización de la ecuación.

CLASE #19

FUNCIONES DE 2do GRADO 

PARTE 3

CLASE #18

FUNCIONES CUADRÁTICAS PARTE DOS

CLASE #17

FUNCIÓN CUADRÁTICA

FUNCIÓN CUADRÁTICA Y ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO

Una función cuadrática o función de segundo grado es una función polinomica definida como: Una función cuadrática es aquella que puede describirse de la forma:

OBJETIVOS DE ESTA FUNCIÓN

Conocer y aplicar los conceptos matemáticos asociados al estudio de la función cuadrática.

Graficar una función cuadrática determinando vértice eje de simetría y concavidad.

Indicar las características básicas de una parábola á través del análisis del discriminaste.

Determinar las intersecciones de la parábola con los ejes cartesianos.

Determinar las raíces de una ecuación de segundo grado.

EJEMPLOS:

INTERSECCIÓN CON EJE Y

EN LA FUNCIÓN CUADRATICA, f(x) = ax2 + bx + c, el coeficiente (C)

Indica la ordenada del punto donde la parábola intercepta el eje (Y).

CONCAVIDAD DE LA FUNCIÓN

En la función cuadrática, f(X) = ax2 + bx + c, el coeficiente (a) indica si la parábola es cóncava hacia arriba o hacia abajo.

EJEMPLO MAS CLARO DE ESTA ECUACIÓN GRÁFICA

En la función, f(X) = x2 - 3x - 4,   a = 1 y c = -4.

Luego la parábola intercepta, al eje y en el punto (0, -4) y es cóncava hacia arriba.

CLASE # 16

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN PARA UN SISTEMA DE ECUACIÓN

Es el método para resolver ecuaciones algebraicas sustituyendo una variable con una cantidad equivalente de términos de otras variables de manera que el número toral de incógnitas se reduzca.

PASOS PARA REALIZAR ESTE MÉTODO

·        - Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.

·        - Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuación con una incógnita

·         -Se resuelve la ecuación

·      -   El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en -las que aparecía despejadas la otra incógnita

·       -  Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema

EJEMPLO

Despejemos las incógnitas:

2x = 8 - y

3x - 2y = 5

Ahora intercambiamos términos y resolvemos el ejercicio

y = 8 - 2x

2x + y = 8

x = 8 - y

      2

Una vez ya intercambiados los términos remplazamos lo valores por las respuestas q salieron.

3x - 2(8 - 2x) = 5

ya habiendo remplazado por los valores realizamos las multiplicación que tenemos en el ejercicio

3x - 16 + 4x = 5

Una vez multiplicado pasamos las  X al lado izquierdo y a los que no tiene X al lado derecho

3x + 4x = 5 + 16

Una vez pasado las X al lado izquierdo resolvemos las sumas o las restas que tenemos y reducimos

7x = 21

Ahora pasamos el numero que está multiplicando a la X al otro lado a dividir y simplificamos para reducir términos

       3
x = 21
       7
       1
Y por ultimo obtenemos nuestra respuesta

x = 3

Ahora tomamos la respuesta que nos salió y remplazamos por X y así obtenemos la respuesta de y

2(3) + y = 8
6 + y = 8
y = 8 - 6
y = 2

CLASE #15

ECUACIONES DE IGUALDAD

MÉTODO DE IGUALDAD

Este método consiste en una pequeña variante del antes visto de sustitución. Para resolver este método de ecuaciones hay que despejar una incógnita, la misma en las dos ecuaciones e igualar el resultado de ambos despejos con los que se obtiene una ecuación de primer grado.

FASES DEL PROCESO

Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.
Se igualan las expresiones obtenidas y se resuelve la ecuación lineal de una incógnita que resulta.

Se calcula el valor de la otra incógnita sustituyéndola ya hallada en una de las ecuaciones despejadas de primer grado.

EJEMPLO DE ESTE MÉTODO

Tenemos un ejercicio planteado para proseguir a resolverlo.

-24x + 21y = 12
24x - 12y = 24

Ahora empezamos a despejar las incógnitas que son (x) (y) y sacar el resultado que está pidiendo.

-24x = 12 - 21y                X= 12 – 21y

                                                 24

24x = 24 + 12y                X=24 + 12y

                                                24

Una vez que hemos puestos en sus respectivos lugares los términos pasamos a seguir resolviéndolos.

           -24(12 - 21y) = 24(24 + 12y)

Después de haber puestos los términos en sus respectivos lugares procedemos a multiplicarlos. 

12 – 21y                          24 + 12y

         -24                                     24  

288-504y                         -576-288y

Una vez q esta multiplicado el ejercicio nos queda de la siguiente manera

   288 - 504y = -576 - 288y

   - 504y + 288y = -576 - 288

             -216y = 864

                        4

                  Y = 864

                       216 

                        1

                   Y = 4

Ahora despejamos (X) e intercambiamos valores y nos da el resultado. Del despeje de (X).

X = 12 – 21 (4) 

         24

Una vez despejado y multiplicado, restado o sumado nos queda de respuesta lo siguiente.

     3

X = 72

    24

     1

x = 3  

COMPROBACIÓN

Ahora tomamos las dos respuesta que obtuvimos y la remplazamos por (x) y (Y)     

                  24(3) - 12 (4) = 24

                  72 - 48 = 24

                        24 = 24

CLASE # 14

REPRESENTACIÓN GRÁFICA

FUNCIONES LINEALES

Una función lineal es una función polinomica de primer grado, es decir, una función cuya representaciones el plano cartesiano es una línea recta. Esta función se puede escribir como; donde m y b son constantes reales; x, y es una variable real.

REPRESENTACIÓN GRÁFICA

Se despeja la función

Se constituye una de colores, basta con dos planos

Se unen los puntos por una línea recta, prolongándola de tal modo que esté representada en todo el plano.

PASOS NECESARIOS PARA REPRESENTAR GRÁFICAMENTE UNA FUNCIÓN

Hasta ahora sabíamos representar las funciones elementales utilizando las propiedades de estas, pero ya estamos en condiciones de representar cualquiera.

Se las puede representar siguiendo estos pasos:

Dominio

Puntos de corte en los ejes

Signos de la función

Asintonas y ramas infinitivas

Monotonía y extremos relativos

Curvatura y puntos

EJEMPLOS DE GRÁFICOS